天文学Delaunay Triangulation in OpenCascade

By admin in 天文学 on 2018年9月14日

Delaunay Triangulation in
OpenCascade

eryar@163.com

摘要:本文简要介绍了Delaunay三角剖分的基础理论,并使用OpenCascade的三角剖分算法将边界BRep表示的几何体进行三角离散化后以OpenSceneGraph中显。 

关键字:Delaunay Triangulation、OpenCascade、OpenSceneGraph 

一、 概述

三角形剖分是面剖分中的一个要课题,在数字图像处理、计算机三维曲面造型、有限元计算、逆向工程等领域有所广泛应用。由于三角形是同等面域中的只有形,与其余平面图形相比,其发出叙方便、处理大概等特色,很抱吃对复杂区域拓展简化处理。因此,无论以盘算几哪、计算机图形处理、模式识别、曲面逼近,还时有发生个别元网格生成地方来普遍的运用。 

虽然曲线、曲面等产生确切的方程来表示,但是当在处理器中,只能用离散的方来逼。如曲线可用直线段来逼,而曲面可用多边形或三角形来表示。用几近边形网格表示曲面是设计中常常利用的款型,可以根据使用要求选择网格的密度。利用三角形面片表示的曲面在处理器图形学着吗号称三角形网格。用三角网格表示曲面需要解决几独问题:三角形的产生、描述、遍历、简化和减少等,这些题材都是计算几何研究之层面,相关题材还可以从中找到答案。下图所著之圆柱和立方体是由于OpenCascade生成,使用OpenCascade的算法离散成三角网格后当OpenSceneGraph中展示的功用。 

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Figure 1.1 Shaded Cylinder and Box 

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Figure 1.2 Mesh generated by OpenCascade 

自打图备受好观看,平面的三角形网格作用还不错,曲面的三角形网格表示只能是近乎表示,可以透过加强网格的密度来多真实性,但相应渲染的数据量就坏了。有人说OpenCascade的来得模块做得无是可怜好,上述措施虽然好只是下OpenCascade的象模块,再组成OpenSceneGraph来针对图纸进行亮。 

三维数据交换STL格式文件中保存之都是三角面片的数量,STL文件格式是出于美国3D
System公司支付,已于工业界认为是当前快速机动成型领域的准标准零件描述文件格式。它对三维实体描述的说有惟一性。几乎有的几哪里样子系统还提供STL文件数据交换接口。OpenCascade中的数据交换模块也提供针对性STL格式的支撑,由此可见三角网格在几乎何样子系统中的机要。 

Voronoi图和Delaunay三角剖分的应用领域十分周边:几哪里建模——用来找三维曲面“好之”三角剖分;有限元分析——用来变化“好之”有限元网格;地理信息体系——用来进行空间领域分析;结晶学——用来确定合金的构造;人类学和考古学——用来确定氏族部落、首奉权威、居住中心或堡垒等的熏陶范围;天文学——用来确定恒星和星系的分布;生物学生态学和林学——用来规定动植物的竞争;动物学——分析动物之领地;统计学和多少解析——用来分析统计聚合;机器人学——用来进展动轨迹规划(在有障碍物的状况下);模式识别——作为找物体骨架点的工具;生理学——用来分析毛细作用的领域;气象学——用来打量区域平均降雨量;市场学——用来建市的市场辐射范围;以及以遥感图像处理、化学、地理学、地质学、冶金学、数学等课程的利用等。 

正文特对OpenCascade中的三角形剖分进行简短介绍,希望对三角剖分在三维几哪里样子点发出趣味的冤家可以本着那深刻研讨。水平很有限,文中不当之处欢迎批评指正、指导,联系邮箱:eryar@163.com。 

二、 Voronoi图

Dirichlet于1850年研究了平面点的邻域问题,Voronoi于1908年以那个结果扩展及高维空间。半上空定义Voronoi图:给得平面及n个点集S,S={p1,
p2, …, pn}。定义: 

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PiPj连线的垂直平分面将空间分为两半,V(Pi)表示于其它接触再近乎Pi的点之轨迹是n-1只半面的及,它是一个未多于n-1条边的阳多边形域,称为关联于Pi的Voronoi多边形或涉及于Pi的Voronoi域。如下图所示为涉及于P1的Voronoi多边形,它是一个季止形,而n=6. 

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Figure 2.1 n=6时的相同种植V(p1) 

对此点集S中之每个点还好开一个Voronoi多边形,这样的n个Voronoi多边形组成的图称为Voronoi图,记否Vor(S)。如下图所示: 

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Figure 2.2 Voronoi diagram for 10 randomly points (Generated by MATLAB) 

希冀中之终端和限分别叫Voronoi顶点和Voronoi边。显然,|S|=n时,Vor(S)划分平面成n个多边形域,每个多边形域V(Pi)包含S中之一个接触又只是含有S中之一个碰,Vor(S)的度是S中某点对之垂直平分线及的平长线或半直线,从而也该点对所于的点滴独多边形域所共有。Vor(S)中有的多边形域是无界的。 

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Figure 2.3 Ten shops in a flat city and their Voronoi cells 

(http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi\_diagram) 

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Figure 2.4 Voronoi tessellation in a cylinder (Voro++ library:
http://math.lbl.gov/voro++/) 

Voronoi图有如下性质: 

l n个点的点集S的Voronoi图至多有2n-5独极和3n-6漫漫边; 

l 每个Voronoi点恰好是三条Voronoi边的交点; 

l 设v是Vor(S)的终极,则圆C(v)内未含S的外点; 

l 点集S中点Pi的诸一个近来即点确定V(Pi)的同一条边; 

l Voronoi图的直线对偶图是S的一个三角形剖分; 

l
如果Pi,Pj属于S,并且通过Pi,Pj有一个非带有S中任何点的一应俱全,那么线段PiPj是沾集S三角剖分的相同久边,反的也建立。 

老三、 Delaunay三角剖分 

1. 二维实数域上之三角形剖分

假设V是二维实数域上之有限点集,边e是由点集中的点作端点构成的封线段,E为e的汇聚,那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个面图: 

l 除了端点,平面图备受之边不含点集中的任何点; 

l 没有互动交边; 

l 平面图中有着的面都是三角面,且拥有三角面的合集是接触集V的凸包。 

2. Delaunay边

借设E中之如出一辙条边(两端点a,b),e满足下列原则,则叫Delaunay边:存在一个圆经过a,b两触及,圆内不包含点集V中之其它的触发。这无异风味又称作空圆特性。 

3. Delaunay三角剖分

假若接触集V的一个三角剖分T中仅仅含有Delaunay边,那么该三角剖分称为Delaunay剖分。 

近日触及意思下的Voronoi图的对图实际上是点集的同样种三角剖分,该三角剖分就是Delaunay剖分(表示为DT(S)),其中每个三角形的外接圆不包含点集中的任何任何点。因此,在组织点集的Voronoi图之后,再发该针对性偶图,即针对每条Voronoi边发通过接触集中某片触及的垂直平分线,即取得Delaunay三角剖分。 

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Figure 3.1 Delaunay Triangulation (Generated by MATLAB) 

还拘留几只图片,加深对Delaunay三角剖分的了解: 

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Figure 3.2 Delaunay Edge  

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Figure 3.3 Illustrate Delaunay Edge 

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Figure 3.4 Delaunay Edge 

4. Delaunay三角剖分的特色

l
1978年Sibson证明了以二维的状态下,在点集的持有三角剖分中,Delaunay三角剖分使得生成的三角的极端小角达到最好深(max-min
angle)。因为就无异于表征,对于让定点集的Delaunay三角剖分总是竭尽避免“瘦长”三角形,自动往等边三角形逼近; 

l 局部优化及共同体优化(locally optimal and globally optimal); 

l Delaunay空洞(cavity)与片又连(local reconnection); 

  1. 经文的Delaunay三角剖分算法 

时常用的算法分为几种植,有扫描线法(Sweepline)、随机增量法(Incremental)、分治法(Divide
and Conquer)等。 

经典的Delaunay三角剖分算法主要出半点像样:Bowyer/Watson算法和部分变换法。 

l
Bowyer/Watson算法又称为Delaunay空洞算法或加点法,以Bowyer和Watson算法为表示。从一个三角开始,每次加一个沾,保证每一样步得到的即三角形是有些优化的。以英国Bath大学数学分校Bowyer,Green,Sibson为代表的计量Dirichlet图的艺术属于加点法,是比较早成名的算法有;以澳大利亚悉尼大学地模仿系Watson为代表的空外接球法也属于加点法。加点法算法简明,是眼前使用最多的算法,该方式运用了Delaunay空洞性质。Bowyer/Watson算法的独到之处是同空间的维数无关,并且算法在促成达标比部分变换算法简单。该算法在初点入到Delaunay网格时,部分外接球包含新点的三角形单元不再适合Delaunay属性,则这些三角形单元被删除,形成Delaunay空洞,然后算法将新点与构成空洞的诸一个巅峰相连生成一个新边,根据空球属性可以作证这些新边都是局部Delaunay的,因此新生成的三角网格仍是Delaunay的。 

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Figure 3.5 Illustration of 2D Bowyer/Watson algorithm for Delaunay
Triangulation 

l
局部变换法又曰换边、换面法。当以部分变换法实现增量式点集的Delaunay三角剖分时,首先定位新加入点所在的三角形,然后以网格中参加三独新的总是该三角形顶点与新顶点的度,若该新点位于某条边上,则该边被删除,四条连接该新点的无尽吃加入。最后,在通过换边方法对该新点的有区域外之度进行检测和转移,重新维护网格的Delaunay性质。局部变换法的任何一个长是那个好对就是的三角网格进行优化,使其易成为Delaunay三角网格,该方式的毛病则是当算法扩展至高维空间时换得较复杂。 

季、 Delaunay三角剖分在OpenCascade的动

OpenCascade中网格剖分的包要有BRepMesh、MeshAlgo、MeshVS,其中,类MeshAlgo_Delaunay使用算法Watson来进展Delaunay三角剖分。从类StlTransfer中之笺注The
triangulation is computed with the Delaunay algorithm implemented in
package
BRepMesh.可以看看包BRepMesh就是Delaunay三角剖分的有血有肉落实。使用方法如下: 

BRepMesh::Mesh (aShape, Deflection); 

本条函数主要是故来针对拓扑形状进行三角剖分。以下通过将一个圆柱三角剖分为条例说明如何用一个拓扑形状进行三角剖分并将结果开展可视化。 

/**
*    Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
*        File    : Main.cpp
*        Author  : eryar@163.com
*        Date    : 2013-05-26
*        Version : 0.1
*
*    Description : Use BRepMesh_Delaun class to learn 
*                  Delaunay's triangulation algorithm.
*
*/
// Open Cascade library.
#include <gp_Pnt.hxx>
#include <gp_Pln.hxx>
#include <BRep_Tool.hxx>
#include <TopoDS.hxx>
#include <TopoDS_Edge.hxx>
#include <TopoDS_Wire.hxx>
#include <TopoDS_Face.hxx>
#include <BRepBuilderAPI_MakeEdge.hxx>
#include <BRepBuilderAPI_MakeWire.hxx>
#include <BRepBuilderAPI_MakeFace.hxx>

#include <BRepPrimAPI_MakeBox.hxx>
#include <BRepPrimAPI_MakeCone.hxx>
#include <BRepPrimAPI_MakeCylinder.hxx>
#include <BRepPrimApI_MakeSphere.hxx>

#include <BRepMesh.hxx>
#include <TopExp_Explorer.hxx>
#include <Poly_Triangulation.hxx>
#include <TShort_Array1OfShortReal.hxx>

#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
#pragma comment(lib, "TKBRep.lib")
#pragma comment(lib, "TKPrim.lib")
#pragma comment(lib, "TKMesh.lib")
#pragma comment(lib, "TKTopAlgo.lib")

// OpenSceneGraph library.
#include <osgDB/ReadFile>
#include <osgViewer/Viewer>
#include <osgViewer/ViewerEventHandlers>
#include <osgGA/StateSetManipulator>

#pragma comment(lib, "osgd.lib")
#pragma comment(lib, "osgDbd.lib")
#pragma comment(lib, "osgGAd.lib")
#pragma comment(lib, "osgViewerd.lib")

osg::Node* BuildShapeMesh(const TopoDS_Shape& aShape)
{
    osg::ref_ptr<osg::Group> root = new osg::Group();
    osg::ref_ptr<osg::Geode> geode = new osg::Geode();
    osg::ref_ptr<osg::Geometry> triGeom = new osg::Geometry();
    osg::ref_ptr<osg::Vec3Array> vertices = new osg::Vec3Array();
    osg::ref_ptr<osg::Vec3Array> normals = new osg::Vec3Array();

    BRepMesh::Mesh(aShape, 1);

    TopExp_Explorer faceExplorer;

    for (faceExplorer.Init(aShape, TopAbs_FACE); faceExplorer.More(); faceExplorer.Next())
    {
        TopLoc_Location loc;
        TopoDS_Face aFace = TopoDS::Face(faceExplorer.Current());

        Handle_Poly_Triangulation triFace = BRep_Tool::Triangulation(aFace, loc);
        Standard_Integer nTriangles = triFace->NbTriangles();

        gp_Pnt vertex1;
        gp_Pnt vertex2;
        gp_Pnt vertex3;

        Standard_Integer nVertexIndex1 = 0;
        Standard_Integer nVertexIndex2 = 0;
        Standard_Integer nVertexIndex3 = 0;

        TColgp_Array1OfPnt nodes(1, triFace->NbNodes());
        Poly_Array1OfTriangle triangles(1, triFace->NbTriangles());

        nodes = triFace->Nodes();
        triangles = triFace->Triangles();       

        for (Standard_Integer i = 1; i <= nTriangles; i++)
        {
            Poly_Triangle aTriangle = triangles.Value(i);

            aTriangle.Get(nVertexIndex1, nVertexIndex2, nVertexIndex3);

            vertex1 = nodes.Value(nVertexIndex1);
            vertex2 = nodes.Value(nVertexIndex2);
            vertex3 = nodes.Value(nVertexIndex3);

            gp_XYZ vector12(vertex2.XYZ() - vertex1.XYZ());
            gp_XYZ vector13(vertex3.XYZ() - vertex1.XYZ());
            gp_XYZ normal = vector12.Crossed(vector13);
            Standard_Real rModulus = normal.Modulus();

            if (rModulus > gp::Resolution())
            {
                normal.Normalize();
            }
            else
            {
                normal.SetCoord(0., 0., 0.);
            }

            vertices->push_back(osg::Vec3(vertex1.X(), vertex1.Y(), vertex1.Z()));
            vertices->push_back(osg::Vec3(vertex2.X(), vertex2.Y(), vertex2.Z()));
            vertices->push_back(osg::Vec3(vertex3.X(), vertex3.Y(), vertex3.Z()));

            normals->push_back(osg::Vec3(normal.X(), normal.Y(), normal.Z()));
        }    
    }

    triGeom->setVertexArray(vertices.get());
    triGeom->addPrimitiveSet(new osg::DrawArrays(osg::PrimitiveSet::TRIANGLES, 0, vertices->size()));

    triGeom->setNormalArray(normals);
    triGeom->setNormalBinding(osg::Geometry::BIND_PER_PRIMITIVE);

    geode->addDrawable(triGeom);

    root->addChild(geode);

    return root.release();
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    osgViewer::Viewer myViewer;
    osg::ref_ptr<osg::Group> root = new osg::Group();

    root->addChild(BuildShapeMesh(BRepPrimAPI_MakeCylinder(.6, 1)));

    myViewer.setSceneData(root);

    myViewer.addEventHandler(new osgGA::StateSetManipulator(myViewer.getCamera()->getOrCreateStateSet()));
    myViewer.addEventHandler(new osgViewer::StatsHandler);
    myViewer.addEventHandler(new osgViewer::WindowSizeHandler);

    return myViewer.run();
}

结果一旦下图天文学所示: 

天文学 13

Figure 4.1 Cylinder mesh generated by BRepMesh::Mesh 

BRepMesh::Mesh是透过包装的,便于对拓扑形状进行三角剖分。以下通过一个略的例证来说明直接用BRepMesh_Delaun的方法: 

/**
*    Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
*        File    : Main.cpp
*        Author  : eryar@163.com
*        Date    : 2013-05-26
*        Version : 0.1
*
*    Description : Use BRepMesh_Delaun class to learn 
*                  Delaunay's triangulation algorithm.
*
*/

#include <BRepMesh_Edge.hxx>
#include <BRepMesh_Delaun.hxx>
#include <BRepMesh_Array1OfVertexOfDelaun.hxx>
#include <TColStd_MapIteratorOfMapOfInteger.hxx>

#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMesh.lib")

int main(int argc, char* argv[])
{
    BRepMesh_Array1OfVertexOfDelaun vertices(1, 4);

    vertices.SetValue(1, BRepMesh_Vertex(0, 0, MeshDS_Free));
    vertices.SetValue(2, BRepMesh_Vertex(1, 0, MeshDS_Free));
    vertices.SetValue(3, BRepMesh_Vertex(1, 1, MeshDS_Free));
    vertices.SetValue(4, BRepMesh_Vertex(0, 1, MeshDS_Free));

    BRepMesh_Delaun triangulation(vertices);
    //triangulation.AddVertex(BRepMesh_Vertex(0.5, 0.5, MeshDS_OnSurface));
    Handle_BRepMesh_DataStructureOfDelaun meshData = triangulation.Result();

    std::cout<<"Iterate Mesh Triangles:"<<std::endl;

    MeshDS_MapOfInteger::Iterator triDom;
    for (triDom.Initialize(meshData->ElemOfDomain()); triDom.More(); triDom.Next())
    {
        Standard_Integer triId = triDom.Key();
        const BRepMesh_Triangle& curTri = meshData->GetElement(triId);

        Standard_Integer vertexIndex1 = 0;
        Standard_Integer vertexIndex2 = 0;
        Standard_Integer vertexIndex3 = 0;

        Standard_Integer edgeIndex1 = 0;
        Standard_Integer edgeIndex2 = 0;
        Standard_Integer edgeIndex3 = 0;

        Standard_Boolean o1 = Standard_False;
        Standard_Boolean o2 = Standard_False;
        Standard_Boolean o3 = Standard_False;

        curTri.Edges(edgeIndex1, edgeIndex2, edgeIndex3, o1, o2, o3);

        const BRepMesh_Edge& edge1 = meshData->GetLink(edgeIndex1);
        const BRepMesh_Edge& edge2 = meshData->GetLink(edgeIndex2);
        const BRepMesh_Edge& edge3 = meshData->GetLink(edgeIndex3);

        vertexIndex1 = (o1? edge1.FirstNode(): edge1.LastNode());
        vertexIndex2 = (o1? edge1.LastNode() : edge1.FirstNode());
        vertexIndex3 = (o2? edge2.LastNode() : edge2.FirstNode());

        const BRepMesh_Vertex& vertex1 = meshData->GetNode(vertexIndex1);
        const BRepMesh_Vertex& vertex2 = meshData->GetNode(vertexIndex2);
        const BRepMesh_Vertex& vertex3 = meshData->GetNode(vertexIndex3);

        const gp_XY& p1 = vertex1.Coord();
        const gp_XY& p2 = vertex2.Coord();
        const gp_XY& p3 = vertex3.Coord();

        std::cout<<"--------"<<std::endl;
        std::cout<<p1.X()<<" , "<<p1.Y()<<std::endl;
        std::cout<<p2.X()<<" , "<<p2.Y()<<std::endl;
        std::cout<<p3.X()<<" , "<<p3.Y()<<std::endl;
        std::cout<<"========"<<std::endl;
    }

    return 0;
}

上述顺序是盖一个正要方形为条例,使用BRepMesh_Delaun三角剖分的结果吗有限只三角,如下所示: 

Iterate Mesh Triangles: 
——– 
1 , 1 
0 , 0 
1 , 0 
======== 
——– 
1 , 1 
0 , 1 
0 , 0 
======== 

 以上结果还是二维空间及的,三维空间受到之运办法好参考类:BRepMesh_FastDiscretFace。这个近乎证了怎样以一个迎拓展网格划分。 

五、 结论

Delaunay三角剖分理论以三维几哪里样子倍受尚是于重大之,通过对造型的三角剖分,不仅可针对其开展可视化,还有利于对貌做越来越的拍卖,如消隐、光照处理等。通过对OpenCascade中三角剖分算法的动,以更了解三角剖分理论运用及其算法实现。 

六、 参考资料

  1. 周培德. 计算几哪—算法设计和分析. 清华大学出版社, 2011 

  2. 李海生. Delaunay三角剖分理论与可视化应用研究. 哈尔滨工业大学出版社,
    2010 

  3. 何援军. 计算机图形学. 机械工业出版社, 2010 

  4. 周元峰, 孙峰, 王文平, 汪嘉业, 张彩明.
    基于局部修复的走数据点Delaunay三角化快速翻新方法.
    计算机辅助设计与图片学学报, 2011, 12: 2006-1012 

  5. http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram

 

PDF Version: Delaunay Triangulation in
OpenCascade

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