三角形函数

By admin in 天文学 on 2018年11月19日

基本函数

天文学 1

直角三角形。

假定右图,当平面上的老三点A、B、C的连线,天文学 2天文学 3天文学 4,构成一个直角三角形,其中天文学 5为直角。对于天文学 6天文学 7的夹角天文学 8而言:

对边(opposite

天文学 9

邻边(adjacent

天文学 10

斜边(hypotenuse

天文学 11

函数 英语 简写 定义 关系
正弦 Sine sin
余弦 Cosine cos
正切 Tangent tan
余切 Cotangent cot
正割 Secant sec
余割 Cosecant csc

横流:中国陆上早期教科书中几近用正切、余切写作tg,ctg,现就弃不用。

另见:三角形恒等式#主导关系

[编辑]罕见函数

天文学 12

除去上述六只主导函数,历史上还有下列几个少见的函数:

正矢
 
余矢
 
半正矢
 
半余矢
 
外正割
外余割

[编辑]历史

初期对三角函数的钻可以追溯至先,现今运的三角函数发展为欧洲底负世纪时。Sin和Cos的动最早得追溯到印度笈多时的天文学时期,然后经过梵文翻译成阿拉伯文,再由阿拉伯文翻译成拉丁文。

乘认识及一般三角形在其的度中保持同之比值,就有矣以三角的界限的长度以及三角形的竞赛内应该有某种标准的对应的想法。就是说对于另外一般三角形,(比如)斜边和剩余的个别只度的比值都是相同的。如果斜边变为两倍增增长,其他边也使变为两倍长。三角函数表达的虽是这些比率。

研讨三角函数的产生伊兹尼克的喜帕恰斯(公元前180-125年)、埃及的托勒密(公元90-180年)、阿里亚哈塔(公元476-550年)、伐罗诃密希罗、婆罗摩笈多、花拉子密、阿布·瓦法、欧玛尔·海亚姆、婆什迦罗第二、纳西尔·艾德丁·图西、Ghiyath
al-Kashi(14世纪)、兀鲁伯(14世纪)、约翰·缪勒(1464)、瑞提克斯和瑞提克斯之学习者Valentin
Otho。

Madhava of
Sangamagramma(约1400年)以无穷级数的法门做了三角函数的分析的初研究。欧拉的《无边微量解析入门》(Introductio
in Analysin
Infinitorum
)(1748年)对树三角函数在欧洲之分析处理做了极度要紧的贡献,他定义三角函数为无穷级数,并表达了欧拉公式,还有以类似现代底简写 sin.cos.tang.cot.sec. 和 cosec.

 

另一方面,所有骨干三角函数都不过依据中心为 O的单位全面来定义,类似于史及应用的几何概念。特别
是,对于此圆的弦AB,这里的
θ
是针对性为比赛的一半,sin θ是 AC(半弦),这是印度的阿耶波多涉足的概念。cosθ 凡是水平距离 OC,versin θ=1-cosθCD。tanθ是通过 A的切线的线段AE的长,所以这个函数才让正切。cotθ大凡其余一个切线段 AF
secθ=OE
cscθ=OF凡是割线(与宏观相交于少数沾)的线条,所以可以看作 OA本着 A
的切线分别向水平及垂直轴的投影。DE
exsecθ=
secθ-1(正割在圆外的一部分)。通过这些构造,容易看正割和正切函数在 θ
接近 π/2的下发散,而余割和余切在 θ 接近零的时段发散。

天文学 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

反三角形函数并无可知狭义的领悟啊三角函数的反函数,是独多值函数(就是说,你为一个价,有很多单比赛可以让那正弦等于是价。这样的角有无数独。所以我们若确定中一个,也即是取得于[-π/2,π/2]范围达到之斯比为咱渴求的竞技)。

它是反正弦Arcsin
x,反余弦Arccos
x,反正切Arctan
x,反余切Arccot
x这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

数学术语

  

  天文学 14 

啊限反三角函数为单值函数,将反正弦函数的价y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin
x;相应地,反余弦函数y=arccos
x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan
x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot
x的主值限在0<y<π。

 

  反三角函数骨子里并无可知称之为函数,因为它并无满足一个自变量对诺一个函数值的求,其图像跟那个原函数关于函数y=x对如。其定义首先由欧拉提出,并且首先采取了【arc+函数叫作】的款式表示反三角函数,而休是f-1(x)。

 

  ⑴正弦函数y=sin
x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。arcsin
x表示一个正弦值为x的赛,该角的克在[-π/2,π/2]间隔内。【图中红线】

 

  ⑵余弦函数y=cos x在[0,π]达到之反函数,叫做反余弦函数。arccos
x表示一个余弦值为x的竞技,该角的范围以[0,π]区间内。【图被蓝线】

 

  ⑶巧切函数y=tan
x以(-π/2,π/2)上之反函数,叫做反正切函数。arctan
x表示一个正切值为x的赛,该角的限定以(-π/2,π/2)区间内。【图被绿线】

 

  注释:【图的画法根据反函数的特性即:反函数图像关于y=x对如】

 

  反三角函数主要是三只:

 

  y=arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用革命线条;

 

  y=arccos(x),定义域[-1,1] , 值域[0,π],图象用蓝色线条;

 

  y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;

 

  y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π),图象无;

 

  sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx

 

  证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将立即有限单姿态代入上式即可得

 

  其他几独用接近方式而得

 

  cos(arccos x)=x,arccos(-x)=π-arccos x

 

  tan(arctan x)=x,arctan(-x)=-arctanx

 

修本段公式

  反三角函数其他公式:

 

  cos(arcsinx)=√(1-x^2)

 

  arcsin(-x)=-arcsinx

 

  arccos(-x)=π-arccosx

 

  arctan(-x)=-arctanx

 

  arccot(-x)=π-arccotx

 

  arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

 

  sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

 

  arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) +
1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1)
!!表示双阶乘

 

  arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) +
1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)

 

  arctan x = x – x^3/3 + x^5/5 -……

举例

  当 x∈[-π/2,π/2] 有arcsin(sinx)=x

 

  x∈[0,π], arccos(cosx)=x

 

  x∈(-π/2,π/2), arctan(tanx)=x

 

  x∈(0,π), arccot(cotx)=x

 

  x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

 

  若 (arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),则
arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))

 

  例如,arcsinχ表示角α,满足α∈[-π/2,π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β,满足β∈[0,π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ,满足φ∈(-π/2,π/2)且tanφ=2

 

编程应用

  用三角函数算圆盘上之触发,例如画钟表的刻度 :CGPointMake(centerX +
cos(angle) * radius , centerY + sin(angle) * radius); //angle为弧度

  用反三角函数算圆盘旋转的弧度:CGFloat angleInRadians =
atan2f(currentTouchPoint.y – center.y, currentTouchPoint.x – center.x) –
atan2f(previousTouchPoint.y – center.y, previousTouchPoint.x –
center.x);

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