Delaunay Triangulation in OpenCascade

By admin in 天文学 on 2018年12月30日

Delaunay Triangulation in
OpenCascade

eryar@163.com

摘要:本文简要介绍了Delaunay三角剖分的基础理论,并使用OpenCascade的三角剖分算法将边界BRep表示的几何体举行三角离散化后在OpenSceneGraph中显示。 

关键字:Delaunay Triangulation、OpenCascade、OpenSceneGraph 

一、 概述

三角形剖分是平面剖分中的一个重大课题,在数字图像处理、总结机三维曲面造型、有限元总括、逆向工程等领域有着广泛应用。由于三角形是平面域中的单纯形,与其他平面图形相比较,其有描述方便、处理大概等特点,很吻合于对复杂区域展开简化处理。由此,无论在总计几何、总括机图形处理、情势识别、曲面逼近,还有半点元网格生成地点有大面积的应用。 

虽说曲线、曲面等有标准的方程来代表,可是在在总结机中,只可以用离散的办法来逼近。如曲线可用直线段来逼近,而曲面可用多边形或三角形来代表。用多边形网格表示曲面是设计中不时接纳的款型,可以依据使用要求采取网格的密度。利用三角形面片表示的曲面在电脑图形学中也称为三角形网格。用三角网格表示曲面需要缓解多少个问题:三角形的发出、描述、遍历、简化和缩小等,这多少个题目都是计量几何研商的范畴,相关题材都足以从中找到答案。下图所示的圆柱和立方体是由OpenCascade生成,使用OpenCascade的算法离散成三角网格后在OpenSceneGraph中体现的效能。 

天文学 1

Figure 1.1 Shaded Cylinder and Box 

天文学 2

Figure 1.2 Mesh generated by OpenCascade 

从图中得以见到,平面的三角网格功能还不错,曲面的三角形网格表示只好是接近表示,可以透过提高网格的密度来扩展真实性,但对应渲染的数据量就大了。有人说OpenCascade的显示模块做得不是很好,上述办法则足以只行使OpenCascade的形状模块,再结合OpenSceneGraph来对图片举行展示。 

三维数据互换STL格式文件中保留的都是三角面片的数目,STL文件格式是由美利坚合众国3D
System公司开支,已被工业界认为是眼下迅猛机动成型领域的准标准零件描述文件格式。它对三维实体描述的表明具有惟一性。几乎所有的几何样子系统都提供STL文件数据交流接口。OpenCascade中的数据互换模块也提供对STL格式的支撑,不问可知三角网格在几何样子系统中的重要性。 

Voronoi图和Delaunay三角剖分的应用领域相当大规模:几何建模——用来查找三维曲面“好的”三角剖分;有限元分析——用来变化“好的”有限元网格;地理消息体系——用来进展空间领域分析;结晶学——用来规定合金的构造;人类学和考古学——用来确定氏族部落、首领权威、居住中央或堡垒等的影响范围;天经济学——用来规定恒星和星系的分布;生物学生态学和林学——用来确定动植物的竞争;动物学——分析动物的领地;总括学和多少解析——用来分析统计聚合;机器人学——用来举行活动轨迹规划(在设有障碍物的意况下);形式识别——作为寻找物体骨架点的工具;生医学——用来分析毛细效用的小圈子;气象学——用来臆想区域平均降雨量;市场学——用来建立城市的商海辐射范围;以及在遥感图像处理、化学、地文学、地质学、冶金学、数学等学科的采纳等。 

本文只对OpenCascade中的三角剖分举行简短介绍,希望对三角剖分在三维几何样子方面有趣味的爱人可以对其深切琢磨。水平很有限,文中不当之处欢迎批评指正、指点,联系邮箱:eryar@163.com。 

二、 Voronoi图

Dirichlet于1850年研讨了平面点的邻域问题,Voronoi于1908年将其结果扩充到高维空间。半空中定义Voronoi图:给定平面上n个点集S,S={p1,
p2, …, pn}。定义: 

天文学 3

PiPj连线的垂直平分面将空间分为两半,V(Pi)表示比其他点更仿佛Pi的点的轨道是n-1个半平面的交,它是一个不多于n-1条边的凸多边形域,称为关联于Pi的Voronoi多边形或关系于Pi的Voronoi域。如下图所示为涉及于P1的Voronoi多边形,它是一个四边形,而n=6. 

天文学 4

Figure 2.1 n=6时的一种V(p1) 

对于点集S中的每个点都可以做一个Voronoi多边形,这样的n个Voronoi多边形组成的图称为Voronoi图,记为Vor(S)。如下图所示: 

天文学 5

Figure 2.2 Voronoi diagram for 10 randomly points (Generated by MATLAB) 

图中的顶点和边分别名叫Voronoi顶点和Voronoi边。显明,|S|=n时,Vor(S)划分平面成n个多边形域,每个多边形域V(Pi)包含S中的一个点同时只含有S中的一个点,Vor(S)的边是S中某点对的垂直平分线上的一条线条或半直线,从而为该点对所在的六个多边形域所共有。Vor(S)中一些多边形域是无界的。 

天文学 6

Figure 2.3 Ten shops in a flat city and their Voronoi cells 

(http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi\_diagram

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Figure 2.4 Voronoi tessellation in a cylinder (Voro++ library:
http://math.lbl.gov/voro++/

Voronoi图有如下性质: 

l n个点的点集S的Voronoi图至多有2n-5个顶峰和3n-6条边; 

l 每个Voronoi点恰好是三条Voronoi边的交点; 

l 设v是Vor(S)的终点,则圆C(v)内不含S的此外点; 

l 点集S中点Pi的每一个如今邻近点确定V(Pi)的一条边; 

l Voronoi图的直线对偶图是S的一个三角形剖分; 

l
如若Pi,Pj属于S,并且通过Pi,Pj有一个不包含S中其它点的圆,那么线段PiPj是点集S三角剖分的一条边,反之亦建立。 

三、 Delaunay三角剖分 

1. 二维实数域上的三角剖分

假使V是二维实数域上的有限点集,边e是由点集中的点作端点构成的封闭线段,E为e的成团,那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图: 

l 除了端点,平面图中的边不含有点集中的任何点; 

l 没有相交边; 

l 平面图中拥有的面都是三角面,且富有三角面的合集是点集V的凸包。 

2. Delaunay边

假使E中的一条边(两端点a,b),e知足下列原则,则称为Delaunay边:存在一个圆经过a,b两点,圆内不带有点集V中的任何的点。这一特性又称作空圆特性。 

3. Delaunay三角剖分

倘若点集V的一个三角形剖分T中只包含Delaunay边,那么该三角剖分称为Delaunay剖分。 

近年来点意思下的Voronoi图的双料图实际上是点集的一种三角剖分,该三角剖分就是Delaunay剖分(表示为DT(S)),其中每个三角形的外接圆不包含点集中的别样任何点。因而,在结构点集的Voronoi图之后,再作其对偶图,即对每条Voronoi边作通过点集中某两点的垂直平分线,即拿到Delaunay三角剖分。 

天文学 8

Figure 3.1 Delaunay Triangulation (Generated by MATLAB) 

再看几个图片,加深对Delaunay三角剖分的敞亮: 

天文学 9

Figure 3.2 Delaunay Edge  

天文学 10

Figure 3.3 Illustrate Delaunay Edge 

天文学 11

Figure 3.4 Delaunay Edge 

4. Delaunay三角剖分的特点

l
1978年Sibson声明了在二维的情状下,在点集的享有三角剖分中,Delaunay三角剖分使得生成的三角的最小角达到最大(max-min
angle)。因为这一特征,对于给定点集的Delaunay三角剖分总是尽可能制止“瘦长”三角形,自动向等边三角形逼近; 

l 局部优化与总体优化(locally optimal and globally optimal); 

l Delaunay空洞(cavity)与局部重连(local reconnection); 

  1. 经文的Delaunay三角剖分算法 

现阶段常用的算法分为两种,有扫描线法(Sweepline)、随机增量法(Incremental)、分治法(Divide
and Conquer)等。 

经文的Delaunay三角剖分算法紧要有两类:Bowyer/沃特son算法和部分变换法。 

l
Bowyer/沃特(Wat)son算法又称之为Delaunay空洞算法或加点法,以Bowyer和沃特son算法为表示。从一个三角形初阶,每便加一个点,保证每一步得到的当下三角形是一对优化的。以U.K.Bath大学数学分校Bowyer,格林(Green),Sibson为代表的臆度Dirichlet图的法门属于加点法,是较早成名的算法之一;以澳大多哥洛美约翰内斯堡高校地学系沃特(Wat)son为代表的空外接球法也属于加点法。加点法算法简明,是时下利用最多的算法,该情势运用了Delaunay空洞性质。Bowyer/沃特(Wat)son算法的助益是与空间的维数无关,并且算法在贯彻上比部分变换算法简单。该算法在新点出席到Delaunay网格时,部万分接球包含新点的三角单元不再适合Delaunay属性,则这多少个三角形单元被删除,形成Delaunay空洞,然后算法将新点与构成空洞的每一个巅峰相连生成一个新边,依照空球属性可以注脚这么些新边都是一些Delaunay的,由此新生成的三角形网格仍是Delaunay的。 

天文学 12

Figure 3.5 Illustration of 2D Bowyer/Watson algorithm for Delaunay
Triangulation 

l
局部变换法又称为换边、换面法。当使用部分变换法实现增量式点集的Delaunay三角剖分时,首先定位新出席点所在的三角,然后在网格中投入五个新的总是该三角形顶点与新顶点的边,若该新点位于某条边上,则该边被剔除,四条连接该新点的边被插足。最终,在经过换边方法对该新点的一些区域内的边举办检测和转换,重新维护网格的Delaunay性质。局部变换法的另一个亮点是其可以对已存在的三角形网格举办优化,使其转移成为Delaunay三角网格,该方法的毛病则是当算法增加到高维空间时变得较为复杂。 

四、 Delaunay三角剖分在OpenCascade的使用

OpenCascade中网格剖分的包紧要有BRepMesh、MeshAlgo、MeshVS,其中,类MeshAlgo_Delaunay使用算法沃特son来进展Delaunay三角剖分。从类StlTransfer中的注释The
triangulation is computed with the Delaunay algorithm implemented in
package
BRepMesh.可以看到包BRepMesh就是Delaunay三角剖分的切切实实贯彻。使用办法如下: 

BRepMesh::Mesh (aShape, Deflection); 

以此函数首要是用来对拓扑形状举办三角剖分。以下通过将一个圆柱三角剖分为例表达什么将一个拓扑形状举行三角剖分并将结果开展可视化。 

/**
*    Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
*        File    : Main.cpp
*        Author  : eryar@163.com
*        Date    : 2013-05-26
*        Version : 0.1
*
*    Description : Use BRepMesh_Delaun class to learn 
*                  Delaunay's triangulation algorithm.
*
*/
// Open Cascade library.
#include <gp_Pnt.hxx>
#include <gp_Pln.hxx>
#include <BRep_Tool.hxx>
#include <TopoDS.hxx>
#include <TopoDS_Edge.hxx>
#include <TopoDS_Wire.hxx>
#include <TopoDS_Face.hxx>
#include <BRepBuilderAPI_MakeEdge.hxx>
#include <BRepBuilderAPI_MakeWire.hxx>
#include <BRepBuilderAPI_MakeFace.hxx>

#include <BRepPrimAPI_MakeBox.hxx>
#include <BRepPrimAPI_MakeCone.hxx>
#include <BRepPrimAPI_MakeCylinder.hxx>
#include <BRepPrimApI_MakeSphere.hxx>

#include <BRepMesh.hxx>
#include <TopExp_Explorer.hxx>
#include <Poly_Triangulation.hxx>
#include <TShort_Array1OfShortReal.hxx>

#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
#pragma comment(lib, "TKBRep.lib")
#pragma comment(lib, "TKPrim.lib")
#pragma comment(lib, "TKMesh.lib")
#pragma comment(lib, "TKTopAlgo.lib")

// OpenSceneGraph library.
#include <osgDB/ReadFile>
#include <osgViewer/Viewer>
#include <osgViewer/ViewerEventHandlers>
#include <osgGA/StateSetManipulator>

#pragma comment(lib, "osgd.lib")
#pragma comment(lib, "osgDbd.lib")
#pragma comment(lib, "osgGAd.lib")
#pragma comment(lib, "osgViewerd.lib")

osg::Node* BuildShapeMesh(const TopoDS_Shape& aShape)
{
    osg::ref_ptr<osg::Group> root = new osg::Group();
    osg::ref_ptr<osg::Geode> geode = new osg::Geode();
    osg::ref_ptr<osg::Geometry> triGeom = new osg::Geometry();
    osg::ref_ptr<osg::Vec3Array> vertices = new osg::Vec3Array();
    osg::ref_ptr<osg::Vec3Array> normals = new osg::Vec3Array();

    BRepMesh::Mesh(aShape, 1);

    TopExp_Explorer faceExplorer;

    for (faceExplorer.Init(aShape, TopAbs_FACE); faceExplorer.More(); faceExplorer.Next())
    {
        TopLoc_Location loc;
        TopoDS_Face aFace = TopoDS::Face(faceExplorer.Current());

        Handle_Poly_Triangulation triFace = BRep_Tool::Triangulation(aFace, loc);
        Standard_Integer nTriangles = triFace->NbTriangles();

        gp_Pnt vertex1;
        gp_Pnt vertex2;
        gp_Pnt vertex3;

        Standard_Integer nVertexIndex1 = 0;
        Standard_Integer nVertexIndex2 = 0;
        Standard_Integer nVertexIndex3 = 0;

        TColgp_Array1OfPnt nodes(1, triFace->NbNodes());
        Poly_Array1OfTriangle triangles(1, triFace->NbTriangles());

        nodes = triFace->Nodes();
        triangles = triFace->Triangles();       

        for (Standard_Integer i = 1; i <= nTriangles; i++)
        {
            Poly_Triangle aTriangle = triangles.Value(i);

            aTriangle.Get(nVertexIndex1, nVertexIndex2, nVertexIndex3);

            vertex1 = nodes.Value(nVertexIndex1);
            vertex2 = nodes.Value(nVertexIndex2);
            vertex3 = nodes.Value(nVertexIndex3);

            gp_XYZ vector12(vertex2.XYZ() - vertex1.XYZ());
            gp_XYZ vector13(vertex3.XYZ() - vertex1.XYZ());
            gp_XYZ normal = vector12.Crossed(vector13);
            Standard_Real rModulus = normal.Modulus();

            if (rModulus > gp::Resolution())
            {
                normal.Normalize();
            }
            else
            {
                normal.SetCoord(0., 0., 0.);
            }

            vertices->push_back(osg::Vec3(vertex1.X(), vertex1.Y(), vertex1.Z()));
            vertices->push_back(osg::Vec3(vertex2.X(), vertex2.Y(), vertex2.Z()));
            vertices->push_back(osg::Vec3(vertex3.X(), vertex3.Y(), vertex3.Z()));

            normals->push_back(osg::Vec3(normal.X(), normal.Y(), normal.Z()));
        }    
    }

    triGeom->setVertexArray(vertices.get());
    triGeom->addPrimitiveSet(new osg::DrawArrays(osg::PrimitiveSet::TRIANGLES, 0, vertices->size()));

    triGeom->setNormalArray(normals);
    triGeom->setNormalBinding(osg::Geometry::BIND_PER_PRIMITIVE);

    geode->addDrawable(triGeom);

    root->addChild(geode);

    return root.release();
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    osgViewer::Viewer myViewer;
    osg::ref_ptr<osg::Group> root = new osg::Group();

    root->addChild(BuildShapeMesh(BRepPrimAPI_MakeCylinder(.6, 1)));

    myViewer.setSceneData(root);

    myViewer.addEventHandler(new osgGA::StateSetManipulator(myViewer.getCamera()->getOrCreateStateSet()));
    myViewer.addEventHandler(new osgViewer::StatsHandler);
    myViewer.addEventHandler(new osgViewer::WindowSizeHandler);

    return myViewer.run();
}

结果如下图所示: 

天文学 13

Figure 4.1 Cylinder mesh generated by BRepMesh::Mesh 

BRepMesh::Mesh是透过包装的,便于对拓扑形状举行三角剖分。以下通过一个粗略的例子来表达直接接纳BRepMesh_天文学,Delaun的方法: 

/**
*    Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
*        File    : Main.cpp
*        Author  : eryar@163.com
*        Date    : 2013-05-26
*        Version : 0.1
*
*    Description : Use BRepMesh_Delaun class to learn 
*                  Delaunay's triangulation algorithm.
*
*/

#include <BRepMesh_Edge.hxx>
#include <BRepMesh_Delaun.hxx>
#include <BRepMesh_Array1OfVertexOfDelaun.hxx>
#include <TColStd_MapIteratorOfMapOfInteger.hxx>

#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMesh.lib")

int main(int argc, char* argv[])
{
    BRepMesh_Array1OfVertexOfDelaun vertices(1, 4);

    vertices.SetValue(1, BRepMesh_Vertex(0, 0, MeshDS_Free));
    vertices.SetValue(2, BRepMesh_Vertex(1, 0, MeshDS_Free));
    vertices.SetValue(3, BRepMesh_Vertex(1, 1, MeshDS_Free));
    vertices.SetValue(4, BRepMesh_Vertex(0, 1, MeshDS_Free));

    BRepMesh_Delaun triangulation(vertices);
    //triangulation.AddVertex(BRepMesh_Vertex(0.5, 0.5, MeshDS_OnSurface));
    Handle_BRepMesh_DataStructureOfDelaun meshData = triangulation.Result();

    std::cout<<"Iterate Mesh Triangles:"<<std::endl;

    MeshDS_MapOfInteger::Iterator triDom;
    for (triDom.Initialize(meshData->ElemOfDomain()); triDom.More(); triDom.Next())
    {
        Standard_Integer triId = triDom.Key();
        const BRepMesh_Triangle& curTri = meshData->GetElement(triId);

        Standard_Integer vertexIndex1 = 0;
        Standard_Integer vertexIndex2 = 0;
        Standard_Integer vertexIndex3 = 0;

        Standard_Integer edgeIndex1 = 0;
        Standard_Integer edgeIndex2 = 0;
        Standard_Integer edgeIndex3 = 0;

        Standard_Boolean o1 = Standard_False;
        Standard_Boolean o2 = Standard_False;
        Standard_Boolean o3 = Standard_False;

        curTri.Edges(edgeIndex1, edgeIndex2, edgeIndex3, o1, o2, o3);

        const BRepMesh_Edge& edge1 = meshData->GetLink(edgeIndex1);
        const BRepMesh_Edge& edge2 = meshData->GetLink(edgeIndex2);
        const BRepMesh_Edge& edge3 = meshData->GetLink(edgeIndex3);

        vertexIndex1 = (o1? edge1.FirstNode(): edge1.LastNode());
        vertexIndex2 = (o1? edge1.LastNode() : edge1.FirstNode());
        vertexIndex3 = (o2? edge2.LastNode() : edge2.FirstNode());

        const BRepMesh_Vertex& vertex1 = meshData->GetNode(vertexIndex1);
        const BRepMesh_Vertex& vertex2 = meshData->GetNode(vertexIndex2);
        const BRepMesh_Vertex& vertex3 = meshData->GetNode(vertexIndex3);

        const gp_XY& p1 = vertex1.Coord();
        const gp_XY& p2 = vertex2.Coord();
        const gp_XY& p3 = vertex3.Coord();

        std::cout<<"--------"<<std::endl;
        std::cout<<p1.X()<<" , "<<p1.Y()<<std::endl;
        std::cout<<p2.X()<<" , "<<p2.Y()<<std::endl;
        std::cout<<p3.X()<<" , "<<p3.Y()<<std::endl;
        std::cout<<"========"<<std::endl;
    }

    return 0;
}

上述顺序是以一个正方形为例,使用BRepMesh_Delaun三角剖分的结果为多少个三角形,如下所示: 

Iterate Mesh Triangles: 
——– 
1 , 1 
0 , 0 
1 , 0 
======== 
——– 
1 , 1 
0 , 1 
0 , 0 
======== 

 以上结果都是二维空间上的,三维空间中的使用办法可以参考类:BRepMesh_FastDiscretFace。那一个类表明了什么样将一个面举行网格划分。 

五、 结论

Delaunay三角剖分理论在三维几何样子中如故相比重要的,通过对造型的三角形剖分,不仅可以对其进展可视化,还便宜对造型做进一步的拍卖,如消隐、光照处理等。通过对OpenCascade中三角剖分算法的选取,以更为询问三角剖分理论应用及其算法实现。 

六、 参考资料

  1. 周培德. 统计几何—算法设计与分析. 浙大大学出版社, 2011 

  2. 李海生. Delaunay三角剖分理论及可视化应用研商. 科钦中医药大学出版社,
    2010 

  3. 何援军. 总结机图形学. 机械工业出版社, 2010 

  4. 周元峰, 孙峰, 王文平, 汪嘉业, 张彩明.
    基于局部修复的位移多少点Delaunay三角化迅速翻新方法.
    总计机帮助设计与图片学学报, 2011, 12: 2006-1012 

  5. http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram

 

PDF Version: Delaunay Triangulation in
OpenCascade

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